IMO 2018 tehtävä 1

Olkoon \Gamma teräväkulmaisen kolmion ABC ympäri piirretty ympyrä. Pisteet D ja E ovat
vastaavasti sellaisia janojen AB ja AC pisteitä, että AD = AE. Janojen BD ja CE keskinormaalit leikkaavat ympyrän \Gamma lyhyemmät kaaret AB ja AC pisteissä F ja G vastaavasti. Osoita, että suorat DE ja FG ovat yhdensuuntaiset (tai ovat sama suora).

Piirretään ensin kuva:

3be06e3f1c8da3763af23a86bcebbb4dd6d16127_1_314x300

Tehtävän voi ratkaista monella tavalla. Koska tehtävässä on useita pisteitä samalla ympyrällä, kompleksilukujen käyttö on houkutteleva vaihtoehto, joskin se usein johtaa hankalien lausekkeiden manipulointiin. Kompleksiluvuista on kilpailusivuilla oppimateriaalia, mutta kiinnostuneen kannattaa selata lisäksi Evan Chenin englanninkielinen moniste. Valitaan koordinaatisto niin, että \Gamma on origokeskinen yksikköympyrä. Yksikköympyrän pisteille z pätee |z|=1, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että luvun z konjugaatti on sen käänteisluku: \bar z = \dfrac1z. Tämä tieto helpottaa lausekkeiden manipulaatiota huomattavasti. Merkitään tehtävässä määriteltyjä pisteitä vastaavia kompleksilukuja pienillä kirjaimilla: pistettä A vastaa a, pistettä B luku b jne. Käännetään kuviota lisäksi niin, että piste A on reaaliakselilla eli a=1.

Tavoitteena on todistaa, että suorat DE ja FG ovat yhdensuuntaiset. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että \dfrac{d-e}{f-g} on reaaliluku. Ensiksi täytyy selvittää, mitä yhteyksiä pisteiden koordinaateilla on toisiinsa.

Pisteen F projektiota F' sekantille AB vastaa kompleksiluku f'=\dfrac12(f+1+b-b\bar f). (Tämä on Evan Chenin monisteen lemma 7. Lemma pätee vain, kun A ja B ovat yksikköympyrän pisteitä, ja lausekkeessa käytettiin oletusta a=1.) Koska f'=\dfrac12(b+d), saadaan d=2f'-b=f+1-b\bar f. Vastaavasti e=g+1-c\bar g.

Tehtävän oletuksista on vielä käyttämättä se, että |AD|=|AE|. Oletuksesta seuraa

\begin{align} |d-1|^2 &= |e-1|^2 & \\ (d-1)(\bar d-1) &= (e-1)(\bar e -1) & \text{(sijoitetaan lausekkeet)}\\ (f-b\bar f)(\bar f - \bar b f) &= (g-c\bar g)(\bar g - \bar c g) &\text{(kerrotaan auki)}\\ f\bar f - \bar b f^2 -b\bar f^2 + b\bar b f\bar f &= g\bar g - \bar c g^2 - c\bar g^2 + c\bar c g\bar g &\text{(yksikköympyrä)}\\ - \bar b f^2 -b\bar f^2 &= - \bar c g^2 - c\bar g^2 \\ \bar c g^2 - \bar b f^2 &= b\bar f^2 - c \bar g^2 & \| {}\cdot bcf^2g^2 \\ f^2g^2(bg^2 - cf^2) &= bc(bg^2 - cf^2)\\ (f^2g^2 - bc)(bg^2 - cf^2) &= 0. \end{align}

Jompikumpi tulon tekijöistä on nolla. Jos jälkimmäinen tekijä on nolla, siitä seuraa \dfrac{g^2}{c}=\dfrac{f^2}{b}. Piste F on (lyhyemmällä) kaarella AB lähempänä B:tä kuin A:ta, koska janan BD keskinormaali on janan AB keskinormaalin suuntainen mutta lähempänä pistettä B. Siten \frac12 \angle AOB \le \angle FOB \le \angle AOB, missä O on ympyrän \Gamma keskipiste. Kompleksilukujen argumentteina lausuttuna \frac12 \arg (b) \le \arg (f) \le \arg (b). Tällöin \arg \left( \dfrac{f^2}{b} \right) = 2\arg(f)-\arg (b) \in [0, \arg (b)] eli lukua \dfrac{f^2}{b} vastaava piste on yksikköympyrän kaarella AB. Vastaavasti nähdään, että lukua \dfrac{g^2}{c} vastaava piste on kaarella AC. Ainoa tapa näiden olla sama piste on se, että molemmat ovat A:ssa, mutta silloin myös D=E=A, jolloin tehtävässä oletettu suora DE ei ole yksikäsitteinen. –Siis tulon tekijöistä ensimmäisen on oltava nolla, jolloin f^2g^2 = bc.

Palataan väitteeseen \dfrac{d-e}{f-g} \in \mathbb{R}. Sijoitetaan osoittajaan aiemmin johdetut d:n ja e:n lausekkeet: d-e = f-b\bar f - g + c\bar g = f-g + \bar f \bar g (cf-bg). Siten

\frac{d-e}{f-g} = 1 + \frac{cf-bg}{fg(f-g)} = 1 - \frac{b\bar f - c\bar g}{f-g}.

Tämän luvun konjugaatti on

\begin{multline} \overline{\left(\frac{d-e}{f-g} \right)} = 1 - \frac{\bar b f - \bar c g}{\bar f- \bar g} = 1 - \frac{fg(\bar b f - \bar c g)}{g-f} = 1 - \frac{f^2g^2(\bar b \bar g - \bar c \bar f)}{g-f}\\ = 1 - \frac{bc(\bar b \bar g - \bar c \bar f)}{g-f} = 1 - \frac{c \bar g - b \bar f}{g-f} = \frac{d-e}{f-g}. \\ \end{multline}

Luku, joka on itsensä kompleksikonjugaatti, on reaalinen, joten väite on todistettu.