Kesän verryttelytehtäviä

Ajattelin jakaa joitain helpompia tehtäviä joita olen kokeillut - jotta niistä vois keskustella.

Eli toi oli aika jännä pulma … :slight_smile:

1 tykkäys

Tuossa toinen tehtävä.

Onko tää teistä sopiva/helppo tai vaikea ?

Kommentteja.

Suorakulmiotehtävä.

a) Tästä voi muodostaa yhtälöryhmän
ja sillä ratkeaa puuttuvan suorakulmion piiri.

Olkoon vaikka sisäpisteestä janojen etäisyys reunoille

  • vasemmalle b, ylös c, oikealle d ja alas a

2a+2b = 344 = 4·86
2b+2c = 258 = 3·86
2c+2d = 344 = 4·86

2a + 4b + 4c + 2d = 11·86
2a + 2d = 11·86 - 2(3·86) = 5·86 = 430

Mutta a,b,c,d ei ratkea triviaalisti tuosta koska siinä on
vain kolme riippumatonta yhtälöä.

Geometrisesti asian näkee siitä että jos vaikka
aloitetaan arvoista pystysivu a+c=129 ja b+d=215
siten että a=86, c= 43 ja b=86 ja d=129 niin yhtälöt
toteutuu ja kasvattamalla vaakarivit yhdellä ja
vähentämällä pystyrivit yhdellä kaikki piirit
pysyvät samana.

2a+2b = 344 = 4·86
2b+2c = 258 = 3·86
2c+2d = 344 = 4·86
2a+2d = 430 = 5·86

Näistä saa toki yleisen
kokonaislukuratkaisun
laittamalla parametriksi d.

a = 215 - d
c = 172 - d
b = 129 - (172 - d) = d - 43
jossa d voi olla 44,45, … 171
kts. Geogebra appletti.

b)

Ratkeaa esim A.M. - G.M. epäyhtälöllä neliömuodossa

Koska
( A - B )² ≥ 0
⇔ A² + B² - 2AB ≥ 0
⇔ A² + B² + 2AB ≥ 4AB
⇔ 4AB ≤ (A + B)² ja yhtäsuuruus vain jos A = B
olemme osoittaneet apulauseen (lemman).

Lemma:
Kaikille A,B pätee A·B ≤ ((A+B)/2)² jossa yhtäsuuruus vain kun A=B.

Nyt tehtävä ratkeaa havaitsemalla että lauseke on sama kuin
(a+c)(b+d) - ad ≤ ((a+c+b+d)/2)² - ad = 172² - a·d
ja neliö a·d on vähintään 1 eli
172² - a·d ≤ 172² - 1 = 171(173) = 29583
ja yhtäsuuruus pätee jos a+c = b+d eli c - b = d - a = 0.
eli kun c=b=171 ja a=d=1.

Kolmiotehtävä
ratkeaa siten että kolmioilla joilla on sama korkeus
pätee että kantojen suhde on pinta-alojen suhde.

Näinollen |DF| : |FB| = 5 : 10 = 1/2 ja
|EF| : |FC| = 8 : 10 = 4/5

mutta jos nyt jaetaan huippunelikulmio ADFE janalla AF osiin
joiden pinta-alat on X ja Y saadaan taas :

(X+8)/Y = 10/5 ja X/(Y+5) = 8/10
josta
X=12 ja Y=10
ja huippunelikulmio ADFE:n pinta-ala
X + Y = 22.

Tuota vois jatkaa jakamalla kolmio FCB kahteen osaan
AF jatkeella FG jossa G janalla BC
ja osoittamalla että janojen |BG| : |GC| pinta-alojen suhde on 4:3 eli
kun pinta-ala yhteensä 10 niin osien pinta-alat on 40/7 ja 30/7.

Sitten vois todeta että Cevan lause
BG ·CD ·AE = GC ·DA ·EB
pätee kun kaikki janat leikkaavat pisteessä F.

Näitä ei kysytty, mutta liittyvät aika mukavasti tuohon tilanteeseen.

En tiedä olivatko helppoja oivaltaa, mutta uskoisin että helppoja ymmärtää
ja jos joku kohta jäi epäselväksi niin kysykää.