Viikkotehtävä: alkulukujoukot (viikko 3/2019)

lukuteoria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 20.1.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Tarkastellaan alkulukujoukkoja, joissa lukujen kymmenjärjestelmäesitykset peräkkäin kirjoitettuna muodostavat jonon 123456789 permutaation. Esimerkiksi \xcancel{\{\,34729,56821\,\}} \{\,257, 491, 863\,\} on tällainen joukko. Mikä on pienin mahdollinen joukon alkioiden summa?


sulki #2

#3

Tehtävän esimerkissä oli ilmeinen virhe, kun kakkonen esiintyi kaksi kertaa. Kiitokset @Henri:⁠lle huomautuksesta.


avasi #4

#6

Oho, tämä oli näköjään jo pari viikkoa vanha, luulin että oli uusi. No, tässä on malliratkaisu nyt kun tein sen kerran.

Jokaisen numeron 1-9 on esiinnyttävä jossain alkuluvussa joko ykkösten tai kymmenten tai satojen jne… paikalla. Parhaimmillaan summan pienuuden kannalta kaikki olisivat ykkösten paikalla. Tämä on selvästi mahdollista luvuille 2,3,5,7, sillä ne voi laittaa joukkoon yksittäin. luvut 1,4,6,8,9 pitää vielä saada johonkin. 4,6 ja 8 eivät voi mitenkään olla alkuluvussa ykkösten paikalla, sillä parilliseen numeroon päättyvät luvut ovat parillisia ja ainoa parillinen alkuluku on 2. Parhaimmillaan nämä luvut ovat siis kymppien paikalla. Voidaan muodostaa esim. joukko {47,61,89,2,3,5}, jonka summaa ei äskeisten huomioiden perusteella voi alittaa, ja jonka luvut tosiaan ovat alkulukuja. 47+61+89+2+3+5=207. Vastaus: 207