Viikkotehtävä: funktion suurin arvo (viikko 7/2019)

epäyhtälöt
#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 17.2.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Oletetaan, että a>0. Selvitä, onko funktiolla

f(x) = \frac{(x+a)^2}{x^2+1}

suurinta arvoa, kun x\in\mathbb{R}, ja mikä sen suurin arvo tai pienin yläraja on. (Reaalilukujoukolla ei välttämättä ole suurinta alkiota, mutta jos sillä on yläraja, sillä on pienin yläraja, ja muuten sanotaan, että sen pienin yläraja on \infty.)

Vihje: tehtävän voi ratkaista differentiaalilaskentaan turvautumatta tavanomaisten kilpailuepäyhtälöiden avulla.

0 Likes

sulki #2
0 Likes

avasi #3
0 Likes

#4

Yksi lähestymistapa on käyttää Cauchyn-Schwarzin epäyhtälöstä seurauksena saatavaa “Titu’s lemma” -nimistä tulosta: https://brilliant.org/wiki/titus-lemma/

1 Like

#5

Tuosta epäyhtälöstähän tämä seuraa ihan suoraan. Tai sitten Cauchy–Schwarzilla:

(x\cdot1+1\cdot a)^2\le (x^2+1)(1+a^2),

joten f(x) \le a^2+1, ja funktio saavuttaa tämän ylärajan silloin, kun yhtäsuuruus on voimassa eli kun vektorit (x,1) ja (1,a) ovat yhdensuuntaisia eli kun x=\frac1a.

0 Likes