Viikkotehtävä: käänteislukujen summa (viikko 13/2019)

algebra
#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 31.3.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Osoita, että on olemassa kokonaisluvut a,b,c ja d, joiden itseisarvot ovat suurempia kuin miljoona ja joille pätee

\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac1d=\frac{1}{abcd}.
sulki #2
avasi #3
#4

Tehtävä on Venäjän matematiikkakilpailusta 2005-2006, yhdeksännen luokan sarjasta.

Korvataan miljoona mielivaltaisen suurella N:llä. Olkoon a=N+1 ja b=-N-2, jolloin

\frac1a+\frac1b = \frac{N+2-(N+1)}{(N+1)(N+2)} = \frac1p,

missä p=-ab on kätevä lyhennysmerkintä seuraavaa ajatellen. Olkoon c=1-p ja d=p(p-1)-1, jolloin

\begin{aligned} \frac1a+\frac1b +\frac1c+\frac1d&= \frac1p - \frac1{p-1} + \frac1{p(p-1)-1}\\ &= \frac1{p(p-1)[p(p-1)-1]} = \frac1{(-ab)(-c)d}. \end{aligned}