Viikkotehtävä: käänteislukujen summa (Viikko 5/2019)

lukuteoria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 3.2.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

a) Ratkaise kokonaislukujen joukossa yhtälö \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac15.

b) Montako ratkaisua kokonaislukujen joukossa on yhtälöllä \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac{1}{1200}? (Lasketaan ratkaisut järjestettyinä pareina (x,y).)


sulki #2

avasi #3

#4



#5

Yhtälö

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}

on ekvivalenttia yhtälön

ax + ay = xy
kanssa. Tähän voidaan käyttää tekijöihinjakokikkaa, joka tunnetaan nimellä SFFT (Simon’s Favorite Factoring Trick): polynomi muotoa

xy + ax + by
voidaan kirjoittaa muotoon
(x + b)(y + a) - ab
Soveltamalla tätä tehtävän yhtälöön saadaan
(x - a)(y - a) = a^2

Olkoon w = x - a, z = y - a. Yhtälö muuttuu muotoon a^2 = zw. Nähdään, että jokaiselle luvun a^2 tekijää d (joka ei välttämättä ole positiivinen) vastaa ratkaisupari (z, w) = (d, \frac{a^2}{d}), ja tästä voidaan edelleen ratkaista x = w + a, y = z + a. Tulee kuitenkin poissulkea ne ratkaisut, joissa x = 0 tai y = 0. Näitä vastaa täsmälleen yksi ratkaisu (z, w) = (-a, -a).

Siis yhtälön \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a} ratkaisujen määrä on 2d(a^2) - 1, missä d(n) kuvaa luvun n positiivisten tekijöiden määrää.


#6

…ja d(1200^2)=d(2^83^25^4)=(8+1)(2+1)(4+1)=135, joten ratkaisuja on 2\cdot135-1=269. Jokaisella n:n positiivisella tekijällä on nimittäin alkutekijöinä vain n:n alkutekijöitä, ja näiden eksponentti vaihtelee nollasta samaan kuin n:llä.