Viikkotehtävä: kahden potenssin numeroiden summa (Viikko 14/2019)

lukuteoria
#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 7.4.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Kun n=1,2,\dotsc, olkoon s(n) luvun 2^n numeroiden summa. Esimerkiksi s(8)=2+5+6=13. Selvitä kaikki positiiviset kokonaisluvut n, joille s(n)=s(n+1).

sulki #2
avasi #3
#4

Vinkki: S(k) \equiv k \pmod{3}, missä S(k) on luvun k numeroiden summa.

1 Like
#5

Vinkki: S(k)\equiv k\pmod3, missä S(k) on luvun k numeroiden summa.

Juuri näin – tähän perustuu kolmella jaollisuussääntö. Tämän todistaminen on helppo kongruenssiharjoitus (vihje: 10\equiv1\pmod3).

Koska 2^1\equiv-1\pmod3 ja 2^{n+1}=2\cdot2^n\equiv-1\cdot2^n\pmod3, kahden potenssit ovat vuorotellen {}\equiv1\pmod3 ja {}\equiv-1\pmod3. Siksi millään peräkkäisillä kahden potensseilla ei voi olla sama numeroiden summa.