Viikkotehtävä: kolme leikkaavaa ympyrää (viikko 12/2019)

geometria
#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 24.3.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Olkoot X, Y ja Z pisteet kolmion ABC sivuilla (X sivulla BC jne.) Oletetaan, että A,B,C,X,Y ja Z ovat kaikki eri pisteitä. Piirretään kolme ympyrää: yksi pisteiden A,Y,Z kautta, toinen pisteiden B,X,Z kautta, kolmas pisteiden C,X,Y kautta. Osoita, että ympyrät leikkaavat yhdessä pisteessä.

Vihje

Tämän pitäisi ratketa ilman, että kuvaan piirtää juurikaan mitään ylimääräistä. Tehtävä on kohtalaisen tunnettu, joten se saattaa löytyä jossain muodossa myös valmennusmateriaaleista, mutta suosittelen kokeilemaan ensin omin voimin.

sulki #2
avasi #3
#4

Tehtävä on kohtuullisen suoraviivainen, jos ei välitä konfiguraatio-ongelmista. Konstruktiossa on kuitenkin mahdollisuutta erilaisiin asetelmiin, mikä on syynä sille, että tehtävää käytetään joissain materiaaleissa suunnattujen kulmien motivoimiseen.

#5

Kyse on Miquelin pisteestä, ja mallisuoritus löytyy ainakin Nimekästä geometriaa -monisteesta. Tosiaan täydellisessä ratkaisussa täytyy joko käydä läpi muutama mahdollinen konfiguraatio tai sitten osata käyttää suunnattuja kulmia. Näistä on Evan Chenillä hyvä moniste.