Viikkotehtävä: kolme puoliympyrää (viikko 41/2018)

geometria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 14.10.2018 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Piirretään kolme toisiaan pareittain sivuavaa puoliympyrää samalle puolelle janaa AB siten, että yhden halkaisija on jana AB ja kahden muun halkaisijat ovat janat AR ja RB, missä R on janan AB sisäpiste. Pienempien puoliympyröiden yhteisistä tangenteista toinen sivuaa puoliympyröitä pisteissä P ja Q, toinen sivuaa kumpaakin näistä pisteessä R ja leikkaa suurimman puoliympyrän pisteessä S (katso kuva). Todista, että PRQS on suorakulmio.


#2

#3

#4

Täytyy myöntää, etten ole täysin varma, onko ratkaisuni täysin oikein. Perusideanan on siis aluksi tehdä muutama kohtuullisen helppo yleinen havainto, jonka jälkeen tehdään inversio pisteessä R. Olen saattanut tehdä jotain huolimattomuuksia invesoidussa ongelmassa (esim. oletan jonkin asian pätevän, vaikken ole todistanut), mutta idea lienee toimiva. Ratkaisuun päätyminen ei ollut kovin vaikeaa: alkuperäisestä ongelmasta voi keksiä helpot huomiot, ja kun mitään ei tunnu enää tippuvan pelkällä kehäkulmalauseella, tulee mieleen käyttää kovempaa kalustoa. Inversio on houkutteleva vaihtoehto, koska tehtävässä on paljon ympyröitä. Lisäksi inversoidussa ongelmassa todistettava väite kolmen pisteen sijaitsemisesta samalla suoralla on lähestyttävissä.

Itse ratkaisuun. Kannattaa olla alkuperäisen tehtävänannon kuva esillä ratkaisua lukiessa.

Olkoon janojen PQ ja RS leikkauspiste X. Olkoon vielä \angle PAR = \alpha ja \angle RBQ = \beta. Kehäkulmalauseen tangenttiversion nojalla pätee \angle RPX = \alpha = \angle PRX, ja vastaavasti \angle XRQ = \beta = \angle RQX. Kolmion PQR kulmien summa on 180^{\circ} = 2\alpha + 2\beta, joten \alpha + \beta = 90^{\circ}. Kulma \angle PRQ on täten suora. Lisäksi X on kolmion PRQ ympäri piirretyn ympyrän keskipiste, koska tangentteina janat XP, XR ovat yhtä pitkät, samoin XR, XQ.

Tehdään inversio, jonka keskipiste on R ja säde on mielivaltainen. Pisteet A', B', R ovat inversion jälkeen samalla suoralla. S' on janan A'B' pisteen R kautta kulkevalla suoralla. Ympyrä pisteiden A, P, R kautta muuttuu suoraksi pisteiden A', P' kautta. Tämä suora on kohtisuorassa janaa A'B' vasten, koska AR on ympyrän APR halkaisija. Vastaavasti B'Q' on suora, joka on kohtisuora janaa A'B' kohden.

Inversoitu kuva näyttää jotakuinkin tältä. Huomaa, että kuvassa eräs piste ei ole S', vaan S_*, joka on määritelty myöhemmin.

Suora PQ leikkaa täsmälleen kerran ympyrää APR. Täten näiden objektien inversioilla on täsmälleen yksi leikkauspiste. Suoran PQ kuva on ympyrä pisteiden P', Q', R kautta. Siis ympyrä pisteiden P', Q', R kautta on tangentti suoralle A'P' pisteessä P', ja vastaavasti pisteelle Q'.

Ympyrä pisteiden A, B, S kautta leikkaa täsmälleen kerran ympyrää pisteiden A, P, R kautta. Täten ympyrä A', S', B' on tangentti suoralle A'P' pisteessä A', ja vastaavasti pisteelle B'.

Piste R on ympyrällä pisteiden P', Q', R kautta, ja \angle P'RQ' = 90^{\circ}. Täten P'Q' on kyseisen ympyrän halkaisija, ja \angle Q'P'A' = 90^{\circ}.

Määritellään piste S^* olemaan se piste suoralla P'Q', joka on samalla pisteen R kautta piirretyllä normaalilla suoralle A'B'. Tällöin \angle A'RS^* = 90^{\circ} = 180^{\circ} - \angle S^*P'A'. Täten nelikulmio A'RS^*P on jännenelikulmio. Täten \angle S^*A'R = \angle S^*P'R. Vastaavasti \angle S^*Q'R = \angle S^*B'R. Täten kolmiot P'Q'R ja A'B'S^* ovat yhdenmuotoiset (ss), joten \angle A'S^*B = \angle P'RQ'. Mutta aiemmin osoitettiin, että tämä kulma on 90 astetta. Siispä \angle A'S^*B' = 90^{\circ}.

Toisaalta, pisteen S kuva S' on ympyrällä A'S'B', jonka halkaisija on A'B'. Täten \angle A'S'B' = 90^{\circ}. Siis S' ja S^* ovat pisteitä, jotka muodostavat saman kulman pisteiden A', B' kanssa, ja ovat janan A'B' pisteelle R piirretyllä normaalilla. Täten S' = S^*, eli S' on janalla P'Q'. Siis P', S', Q' ovat samalla suoralla, eli ennen inversiota P, Q, R, S ovat samalla ympyrällä. Siispä \angle PSQ = 90^{\circ}. Lisäksi RS on tämän ympyrän halkaisija, koska R, X, S ovat samalla suoralla. Täten PRQS on suorakulmio.


#5

Kyllä tuo näyttäisi oikein menevän. Inversioargumentteja joutuu kyllä aina miettimään huolella.