Viikkotehtävä: kolmion piiri (viikko 8/2019)

geometria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Teräväkulmaisessa kolmiossa ABC kulma A on 60^\circ ja sivu b=AC on pidempi kuin sivu c=AB. Kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on M ja ympäripiirretyn ympyrän keskipiste on O. Suora OM leikkaa sivut AB ja AC pisteissä X ja Y.

(a) Todista, että kolmion AXY piiri on b+c.
(b) Todista, että OM=b-c.

Vihjeitä

Jos tehtävä näyttää vaikealta, kannattaa aloittaa siitä, mitä tehtävän lähtötiedoista voi ylipäänsä päätellä. Kolmion voi piirtää paperille tai nykyaikana johonkin Geogebran tapaiseen ohjelmaan, ja sitten tehdä havaintoja siitä, mitkä janat ovat keskenään samanpituisia tai mitkä kulmat yhtäsuuria. Varsinkin dynaamisen geometrian ohjelmissa kuvion vapaita pisteitä voi siirrellä ja tutkia, pysyvätkö yhtäsuuriksi oletetut janat tai kulmat yhtäsuurina. Jos pysyvät, tämän yhtäsuuruuden voi ottaa työhypoteesiksi ja yrittää todistaa, tai sitten kokeilla, auttaisiko hypoteesi tehtävän väitteen todistamisessa.

Alkuun pääsemiseksi tässä Geogebra-konstruktio tehtävästä:

Tai ladattava Geogebra-tiedosto: 08_ABCMOXY.ggb (23,8 Kt)


sulki #2

avasi #3

#4

Tämähän oli hauska tehtävä. Kerrankin Eulerin suora sai ison roolin tehtävässä. Ja tulos on yllättävän vahva, kun ottaa huomioon, että vain yksi kulma oli kiinnitetty.


#5

Tehtävän alkuperä on Unkarin kansallinen matematiikkakilpailu vuodelta 2004-2005. Viikkotehtävään ei tullut yhtään vastausta, minkä syyksi arvaan jotain yhdistelmää hiihtolomia, valmennusviikonloppua ja valmennuskirjeen aikarajaa. En halua vielä paljastaa ratkaisua, koska minustakin tehtävä on aika hauska, mutta tässä lisävihje:


#6

Mun vihje on jännenelikulmio AC_1MB_1 ja eräs toinen jännenelikulmio, jossa piste M on mukana (mutta ei kuitenkaan BA_1MC_1 tai CB_1MA_1 vaikka nekin ovat jännenelikulmioita).