Viikkotehtävä: kolmion sivujen pituudet (viikko 52)

geometria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 30.12.2018 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Kolmion ABC sivujen pituudet ovat a=b-\frac{r}{4}, b ja c=b+\frac{r}{4}, missä r on kolmion sisään piirretyn ympyrän säde. Sievennä nämä sivujen pituudet siten, että niiden lausekkeet ovat ainoastaan r:n funktioita (esim. a=r+10, b=5r, c=r^3, joka on toki luultavasti väärä vastaus).


#2

#3

#4

Tässä yksi mahdollinen ratkaisu. Kolmion pinta-alan voi lausua sisäsäteen r avulla muodossa A=sr, missä s=\frac12(a+b+c)=\frac{3b}{2}, ja toisaalta Heronin kaavan avulla muodossa

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

Siis

r = \frac{A}{s} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} = \sqrt{\frac{(b/2+r/4)(b/2)(b/2-r/4)}{3b/2}} = \sqrt{\frac{b^2/4-r^2/16}{3}}

joten (3+\frac{1}{16})r^2 = \frac{b^2}{4} eli b=2\sqrt{\frac{49}{16}}\,r=\frac72r. Edelleen a=\frac{13}4r ja c=\frac{15}4r. Vielä voi tarkistaa, että kolmio on mahdollinen: pisin sivu on c, ja selvästi a+b>c.