Viikkotehtävä: korkeusjanojen keskipisteet (viikko 46/2018)

geometria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 18.11.2018 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Kolmion korkeusjanojen keskipisteet ovat samalla suoralla. Selvitä kolmion muoto.


#2

#3

#4

Ei ole kovin vaikeaa arvata, että vastaus on (ehkä?) suorakulmainen kolmio.


#5

Joo, se on suorakulmainen. Tehtävä ratkesi mukavan helposti analyyttisellä geometrialla, vaikkei puhtaaksikirjoitettu vastaus aivan lyhyt olekaan. Viikon 46 tehtävä.pdf (103,8 Kt)


#6

Käyttämäni lähde esittää ratkaisuksi seuraavaa päättelyä: korkeusjanojen keskipisteet ovat kolmion ABC sivujen keskipisteiden muodostaman kolmion DEF sivuilla. (Tämä nähdään helposti homotetiakuvauksista keskipisteinä A, B ja C ja kertoimena 1/2.) Mutta jos suora leikkaa kolmion DEF kaikkia sivuja, yhden kolmion sivuista on oltava tällä suoralla eli kahden korkeusjanojen keskipisteistä on oltava kolmion DEF kärkipisteitä. Tällöin kolmio ABC on suorakulmainen.

Tässä houkuttelevan lyhyessä päättelyssä on nähdäkseni sellainen pieni puute, että korkeusjanojen keskipisteet voivat olla myös kolmion DEF sivujen jatkeilla, ja on toki mahdollista minkä tahansa suoran leikata kolmion kutakin sivua tai sen jatketta. Tämän voisi paikata vaikka näin: Jos korkeusjanojen kantapisteet (ja siten keskipisteet) ovat kolmion ABC ulkopuolella, kolmio on tylppäkulmainen, esim. kulma A on tylppä. Tällöin kulman A vastainen kantapiste on janan BC sisäpiste ja kaksi muuta kantapistettä ovat samalla puolella suoraa BC. Korkeusjanojen keskipisteistä samoin yksi on janan EF sisäpiste ja kaksi muuta ovat samalla puolella suoraa EF, missä E ja F ovat janojen AB ja AC keskipisteet. Tällöin pisteet eivät voi olla samalla suoralla.