Viikkotehtävä: kuutio ja taso (viikko 48/2018)

lukuteoria
geometria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 2.12.2018 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Onko olemassa sellaiset kuutio ja taso, että kuution kärkipisteiden etäisyydet tasosta ovat 0, 1, 2, … ja 7?


#2

#3

#4

Tämähän oli yllättävän vaikea, tai sitten kaikilla osallistujilla oli muita kiireitä. Annetaan vähän vihjeitä: tällaiset kuutio ja taso ovat olemassa, ja kuutioksi kelpaa vaikka ihan ilmeinen yksikkökuutio, jonka kärkipisteet ovat

  • (0,0,0)
  • (0,0,1)
  • (0,1,0)
  • (0,1,1)
  • (1,0,0)
  • (1,0,1)
  • (1,1,0)
  • (1,1,1).

Enää tarvitaan sopiva taso.


#5

Miten yksikkökuutio voi kelvata ratkaisuksi? Selvästihän tason tulee kulkea jonkin kuution kärjen pisteen kautta, vaikkapa pisteen (0, 0, 0). Tällöin minkä tahansa muun yksikkökuution kärjen etäisyys tästä tasosta on enintään etäisyys origoon, eli enintään \sqrt{3} < 7.


#6

Joo, hyvä huomio. Ratkaisu on kuutio, jonka sivut on kerrottu sopivalla kertoimella, eli täytyy löytää sellainen taso, että yksikkökuution kärkipisteiden tasosta mitattujen etäisyyksien keskinäiset suhteet ovat samat kuin lukujen nollasta seitsemään.


#7

Ei tämä tosiaan kovin vaikea ollutkaan. Taisin aluksi ajatella, että otetaan taso z=0 ja käännellään ja väännellään sopiva kuutio sopivaan asentoon, mikä oli turhan monimutkainen lähestymistapa. Ratkaisu viikon 48 tehtävään.pdf (68,1 Kt)


#8

Joo, juuri noin. --Tason voi määritellä normaalivektorin avulla: esim. vektori (4,2,1) on tasojen 4x+2y+z=c normaali, ja pisteiden etäisyydet tasosta saadaan sisätulon avulla. Jos asetetaan taso kulkemaan origon kautta (eli valitaan c=0), pisteiden etäisyydet siitä ovat

  • 0
  • k(4\cdot0+2\cdot0+1\cdot1) = k
  • k(4\cdot0+2\cdot1+1\cdot0) = 2k

jne., missä k on jokin normalisointikerroin, jota ei oikeastaan tarvitse laskea mutta taitaa olla 1/\sqrt{21}. Tason kertoimiksi valittiin kahden potensseja, koska yksikkökuution kärkipisteiden koordinaatit olivat binäärijärjestelmässä luvut nollasta seitsemään. Nyt täytyy tosiaan vielä skaalata yksikkökuutio niin, että päästään eroon k:sta, mutta se onnistuu helposti.