Viikkotehtävä: lukuja välillä [-4, 2] (Viikko 43/2018)

algebra
epäyhtälöt
polynomit

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 28.10.2018 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Määritä kaikki kokonaisluvut n\ge1, joille välillä [-4,2] on olemassa reaaliluvut x_1,x_2,\dots,x_n, joille

  1. lukujen summa on vähintään n,
  2. lukujen neliöiden summa on enintään 4n ja
  3. lukujen neljänsien potenssien summa on vähintään 34n.

#2

#3

#4

Kellään ideoita? Minulla ei kovin kummoisia ideoita, muuta kuin seuraava: jos on olemassa ratkaisu arvoilla n = a ja n = b, niin on myös olemassa ratkaisu arvolla n = a+b. Jos haluttaisiin osoittaa, että kaikilla tarpeeksi suurilla n on olemassa ratkaisu, riittäisi todistaa, että on olemassa ratkaisut n_1 ja n_2, missä lukujen n_1, n_2 syt on 1.


#5

Tämä oli vaikea epäyhtälötehtävä, joku voisi moittia keinotekoiseksikin. Tehtävän lähde oli vuoden 2009 Välimeren maiden matematiikkakilpailu.

Yritetään yleistää epäyhtälöä x^2\ge 0 niin, että siinä olisi sopiva neljännen asteen polynomi. Tehtävän suljetun välin perusteella arvataan, että kaksi polynomin juurista ovat -4 ja 2, ja jotta polynomi ei vaihda merkkiä näiden välissä, kolmas juuri voisi olla kaksinkertainen juuri, siis polynomi olisi P(x)=(x+4)(x-2)(x-c)^2. Kolmannen asteen kertoimeksi tulee 2-2c, ja koska sen olisi seuraavaa päättelyä varten hyvä olla nolla, valitaan c=1.

Tarkastellaan siis polynomia

P(x)=(x+4)(x-2)(x-1)^2=x^4-11x^2+18x-8.

image

Kun x\in[-4,2], P(x)\le 0, ja yhtäsuuruus pätee täsmälleen silloin, kun x\in\{\,-4,1,2\,\}. Lasketaan yhteen nämä epäyhtälöt kaikille tehtävässä kysytyille luvuille ja sovelletaan tehtävän ehtoja:

0 \ge \sum_{k=1}^n x_k^4 - 11\sum_{k=1}^n x_k^2 + 18\sum_{k=1}^n x_k - \sum_{k=1}^n 8 \ge 34n - 44n + 18n - 8n = 0.

Siis jokaisessa epäyhtälössä on oltava yhtäsuuruus, joten x_k\in\{\,-4,1,2\,\} kaikilla k. Jos p lukua on -4, q lukua 1 ja r lukua 2, saadaan

\begin{aligned} -4p + q + \phantom{0}2r &\ge \phantom{00}( p+q+r),\\ 16p + q + \phantom{0}4r &\le \phantom{0}4(p+q+r),\\ 256p + q + 16r &\ge 34(p+q+r). \end{aligned}

Ensimmäinen epäyhtälö on sama kuin r\ge5p ja toinen sama kuin 4p\le q. Kolmannesta saadaan edelliset sijoittamalla

222p\ge 33q+18r \ge 132p+90p=222p,

joten on oltava r=5p ja q=4p. Tällöin n=p+q+r on kymmenellä jaollinen, ja toisaalta on helppo varmistua siitä, että p miinus nelosta, 4p ykköstä ja 5p kakkosta toteuttaa ehdot. Vastaus on siis: ratkaisuja on silloin, kun 10\mid n.