Viikkotehtävä: neljä epäyhtälöä joissa ¼ (viikko 1/2019)

epäyhtälöt

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 6.1.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Osoita, että kaikki seuraavista epäyhtälöistä eivät voi olla voimassa yhtä aikaa:

\begin{cases} a - b^2 &\!\!\!\!\gt \dfrac14,\\ b - c^2 &\!\!\!\!\gt \dfrac14,\\ c - d^2 &\!\!\!\!\gt \dfrac14 \quad\text{ja}\\ d - a^2 &\!\!\!\!\gt \dfrac14,\\ \end{cases}

#2

#3

#4

Kellään ideoita? Ajattelin itse käyttää Cauchy-Schwarz epäyhtälöö tai oikeestaan hiukan sovellettua muotoa. Onko kellään muita ratkaisutapoja.


#5

Osoitetaan väite vastaoletuksella: oletetaan, että kaikki epäyhtälöt pätevät. Tällöin summaamalla epäyhtälöt saadaan

a + b + c + d > 1 + a^2 + b^2 + c^2 + d^2

Siispä uudelleenjärjestämällä

0 > (a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 + (d - \frac{1}{2})^2

Mutta x^2 \ge 0 kaikilla x \in \mathbb{R}. Tämä on ristiriita, joten vastaoletus on väärä, ja väite on tosi.


#6

(https://brilliant.org/wiki/cauchy-schwarz-inequality/)