Viikkotehtävä: omituinen epäyhtälö (viikko 49/2018)

epäyhtälöt
trigonometria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 9.12.2018 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Kun 0\lt x\lt \frac\pi2, 0\le a\le b mutta b\ne 0 ja 0\le c \le 1, todista että

\left(\frac{c+\cos x}{c+1}\right)^b \lt \left( \frac{\sin x}{x} \right)^a.

#2

#3

#4

Ideana on osoittaa, että riittää osoittaa epäyhtälö vaikeimmissa tapauksissa c = 1 ja b = a \neq 0. Tällöin epäyhtälö palautuu muotoon f(x) = 2\sin(x) - x(1 + \cos(x)) > 0. Tällä f pätee f(x) = 0, f'(x) = 0 ja f''(x) > 0. Siis f'(x) > 0 halutulla välillä, joten f(x) > 0 halutuilla x.


#5

Muut tapaukset ovat tosiaan helppoja tai palautuvat vaikeimpaan tapaukseen

\frac{1+\cos x}{2} < \frac{\sin x}{x}.

Tähän voi derivoinnin tai Taylorin sarjojen sijasta soveltaa erinäisiä trigonometrian kaavoja (joita kannattaa ehkä osata jopa ulkoa), \cos(\alpha^2)=\frac12(1+\cos(2\alpha)) ja \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha, jolloin todistettavaksi jää

x \cos^2\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr) < 2 \sin\Bigl(\frac x2\Bigr)\cos\Bigl(\frac x2\Bigr)

eli

\frac x2 < \tan\Bigl( \frac x2 \Bigr).

Tätä voi taas aika huoletta kutsua “yleisesti tunnetuksi”, tai soveltaa differentiaalilaskentaa tähän ehkä helpompaan tapaukseen, tai tulkita epäyhtälön geometrisesti.