Viikkotehtävä: parittomien tekijöiden summa (viikko 39/2018)

lukuteoria
jaollisuus

#1

Viikkotehtävä, viikko 39

Vastausaikaa su 30.9.2018 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Jokaisella positiivisella kokonaisluvulla on suurin pariton tekijä: esimerkiksi luvun 19 suurin pariton tekijä on 19, luvun 32 suurin pariton tekijä on 1 ja luvun 100 suurin pariton tekijä on 25.

Laske lukujen 2018, 2019, …, 4036 suurimpien parittomien tekijöiden summa. Laskimella tai tietokoneella tämä on tietysti aivan helppoa, mutta yritä löytää perustelu joka on uskottava ilmankin apuvälineitä.


#2

#3

#4

Luvuilla 2018 ja 4036 on selvästi sama suurin pariton tekijä, mutta joukon \{\,2019,2020,...,4036\,\} lukujen suurimmat parittomat tekijät ovat vällttämättä kaikki eri lukuja, koska muuten joukossa olisi kaksi lukua, joiden suhde olisi kahden potenssi. Näitä suurimpia parittomia tekijöitä voivat olla luvut 1, 3, 5, ..., 4035, siis 2018 vaihtoehtoa. Toisaalta joukossa on 2018 lukua, joten kaikki nämä luvut esiintyvät tekijöinä.

Peräkkäisten parittomien kokonaislukujen summalle on tunnettu kaava, jonka voi muistaa ulkoa tai johtaa induktiolla. Koska ollaan netissä, niin selvitetään se tällä kertaa nettiresurssien avulla: syötetään mainion https://oeis.org:n hakukoneeseen muutama ensimmäinen termi 1,4,9,16,25,36,49 ja löydetään neliöluvut, joiden kuvauksessa toden totta mainitaan “partial sums of A005408 (odd numbers)”. Kilpailutilanteessa tällaiset välineet eivät ole käytettävissä, joten neliölukujen tunnistaminen ja niihin liittyvä induktiotodistus jätetään pieneksi harjoitustehtäväksi.

Lopputulos on siis 2018^2+1009, missä jälkimmäinen termi on aluksi pois jätetyn 2018:n suurin pariton tekijä.