Viikkotehtävä: polynomin kerrointen lausekkeita (Viikko 4/2019)

algebra
polynomit

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 27.1.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Määritellään polynomi

P(x) = (1-2018x+2019x^2)^{2019}(1-2x+3x^2-4x^3).

Jos potenssi- ja kertolaskut kirjoitetaan auki, saadaan paljon kertoimia:

P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \dots + a_kx^k.

Selvitä kerrointen summa a_0+a_1+a_2+\dots+a_k ja vuorotteleva summa a_0-a_1+a_2-a_3+\dots\pm a_k.


sulki #2

avasi #3

#4


#5

Juuri näin. Jos tuloksen haluaisi tarkistaa numeerisesti, niin esiintyvät luvut ovat tavallisiin laskimiin liian suuria, mutta esim. Python-ohjelmointikieli tukee mielivaltaisen suuria kokonaislukuja:

In [1]: def P(x):
   ...:     return (1-2018*x+2019*x*x) ** 2019 * (1-2*x+3*x*x-4*x**3)
   ...:
   ...:

In [2]: P(1) - (-2**2020)
Out[2]: 0

In [3]: P(-1) - 5 * 2**2020 * 2019**2019
Out[3]: 0

Joissakin ratkaisuissa näkyi vähän epävarmuutta siitä, kuinka pitkälle laskut pitäisi laskea. Yleensä ainakin kilpailutehtävissä riittää esittää lausekkeista jonkinlainen “suljettu muoto”, joka on sellainen että lasku olisi periaatteessa helposti laskettavissa loppuun. Esimerkiksi tällainen kokonaislukujen kerto- ja potenssilaskuja sisältävä lauseke on ihan varmasti kelvollinen, eikä kilpailutilanteessa olisi mitään mieltä yrittää laskea luvun 2^{2020} desimaaliesitystä. Samoin muutkin peruslaskutoimitukset, neliö- ym. juuret ja eksponenttifunktio kelpaavat. Toisaalta “polynomin P suurin nollakohta” tai "sarjan summa \sum_{i=0}^\infty x_i" eivät yleensä kelpaa suljetuksi muodoksi, mutta tarkka rajanveto on yllättävän hankalaa.

Esimerkkinä suljetun muodon kontekstisidonnaisuudesta voisi mainita sellaiset trigonometriset tehtävät, joissa pyydetään laskemaan trigonometrisen funktion arvo sellaisessa suljetussa muodossa, joka ei sisällä trigonometrisia funktioita, esim. \sin 33^\circ = \dfrac14\biggl(\sqrt{8-\sqrt3-\sqrt{15}+\sqrt{10-2\sqrt5}}\biggr). Tällaisissa tehtävissä ei yleensä kelpaa ratkaisuksi sellainen suljettu muoto kuin \frac{1}{2i} (e^{i\frac{11}{60}\pi} - e^{-i\frac{11}{60}\pi}), vaikka se nyt oikeastaan sisältää vain (kompleksilukujen) peruslaskutoimituksia ja eksponenttifunktion.