Viikkotehtävä: polynomiyhtälö (viikko 17/2019)

algebra
funktionaaliyhtälö
polynomit
#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 28.4.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Etsi kaikki reaalikertoimiset polynomit P, joille pätee kaikilla reaaliluvuilla x

P(x+1) = P(x) + 2x + 1.
sulki #2
avasi #3
#4

Vihje: Yhtälöstä on melko helppo arvata yksi ratkaisu P(x)=x^2. Muiden ratkaisujen löytämiseksi voidaan tarkastella esimerkiksi sitä, mitä yhtälöstä seuraa erotukselle Q(x)=P(x)-x^2.

#5

Usein funktionaaliyhtälöissä voi todeta seuraavan asian:

“Jos funktio f(x) toteuttaa yhtälön, niin silloin myös funktio g(x) = f(x) + c toteuttaa yhtälön kaikilla vakioilla c.”

Tästä huomiosta on se hyöty, että tällöin voidaan olettaa f(0) = 0 (tai vaikkapa f(123) = 456), koska funktiota f voidaan tarvittaessa siirtää vakiolla. Lopuksi tulee muistaa ottaa huomioon myös ne ratkaisut, joissa f(0) \neq 0.

Tästä siis ratkaisuun:

Jos P on polynomi, joka toteuttaa annetun yhtälön, niin myös P - c toteuttaa yhtälön kaikilla vakioilla c. Oletetaan siis, että P(0) = 0. Tällöin sijoittamalla x = 0 saadaan P(1) = 1, ja sijoittamalla x = 1 saadaan P(2) = 4, ja sijoittamalla x = 2 saadaan P(3) = 9, ja niin edelleen. Nähdään siis, että P(n) = n^2 äärettömän monella n, ja koska P on polynomi, niin P(x) = x^2 kaikilla x (voidaan vaikka todeta, että polynomilla Q(x) = P(x) - x^2 on äärettömän monta nollakohtaa, joten se on nollafunktio).

Siispä kaikki ratkaisut ovat P(x) = x^2 + c.

1 Like