Viikkotehtävä: suppeneva sarja (viikko 38/2018)

algebra
epäyhtälöt
sarjat

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 23.9.2018 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

On yleisesti tiedossa, että harmoninen sarja ei suppene:

\sum_{n=1}^\infty \frac 1n = \frac11 + \frac12 + \frac13 + \dotsb = \infty.

Sama pätee myös, jos rajoitutaan alkulukuihin:

\sum_{p\text{ alkuluku}} \frac 1p = \frac12 + \frac13 + \frac15 + \frac17 + \frac{1}{11} + \dotsb = \infty.

Tälle on erinäisiä todistuksia alkaen Eulerista, mutta ei keskitytä nyt niihin. Sen sijaan tehtävänä on todistaa, että saman näköinen sarja suppenee, kun rajoitutaan lukuihin, joiden desimaaliesityksessä ei esiinny kahta ykköstä peräkkäin. Etsi siis sellainen luku D, että

\sum_{\,n\,=\,1\\11\,\notin\, n}^\infty \frac1n = \frac11 + \frac12 + \dots + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \dots + \frac{1}{109} + \frac{1}{120} + \dotsb < D

missä merkintä 11\notin n tarkoittaa, että summasta jätetään pois sellaisia lukuja n vastaavat termit, joiden kymmenjärjestelmäesityksessä on missään kohti kaksi ykköstä peräkkäin.


#2

#3

#4

Idea: niiden lukujen n osuus, joilla 11 \not\in n, pienenee luvun n numeroiden kasvaessa. Tutkitaan siis, kuinka paljon tämä pienenee. Tarpeeksi hyvän arvion luomalla voidaan summaa arvioida ylöspäin johonkin vakioon D.

Ratkaisu:

Olkoon n jokin luku, jossa on k numeroa kymmenjärjestelmäesityksessä. Tutkitaan todennäköisyyttä slle, että 11 \not\in n. Jaetaan luvun n numerot pareihin niin, että ensimmäiset kaksi numeroa ovat oma parinsa, seuraavat kaksi numeroa jälleen omansa, ja näin edelleen. Pareja muodostuu siis \lfloor \frac{k}{2} \rfloor. Valitaan jokin näistä numeropareista. Todennäköisyys sille, että se on (1, 1) on vähintään \frac{1}{100}. Lisäksi todennäköisyydet ovat toisistaan riippumattomia, koska numeroparit eivät leikkaa. Täten todennäköisyys sille, että 11 \not\in n on enintään \Big ( \frac{99}{100} \Big )^t , missä t = \lfloor \frac{k}{2} \rfloor.

Tutkitaan nyt summaa, joka käy kaikki k-numeroiset luvut n läpi, joilla 11 \not\in n, ja summaa näiden käänteisluvut yhteen. Käytyjen lukujen määrä on edellisen nojalla enintään

a \cdot 0.99^t

missä a = 10^k - 10^{k-1} \le 10^k on kaikkien k-numeroisten lukujen määrä.

Lisäksi jokainen käyty luku on kooltaan vähintään 10^{k-1}. Täten kysytty summa k-numeroisille luvuille on enintään

\frac{1}{10^{k-1}} a \cdot 0,99^t \le 10 \cdot 0,99^t \le 10 \cdot 0,99^{\frac{k}{2}}

Täten saadaan lopullinen yläraja tehtävänannon summalle

S \le 10 \cdot (0,99^{\frac{1}{2}} + 0,99^{\frac{2}{2}} + \ldots ) \le 10 \cdot (1 + 0,99^{\frac{1}{2}} + \ldots) = 10 \cdot \frac{1}{1 - 0,99^\frac{1}{2}} < 2018

Viimeinen epäyhtälö voidaan tarkistaa laskimella, tai Wolfram Alphalla:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=10%2F(1+-+0.99^(1%2F2))

Täten voidaan valita D = 2018.


#5

Tehtävä on klassikko, joskin perinteisesti kysytään, mitä käy jos jätetään yhdeksikön sisältävät luvut pois. Wikipedia tuntee tämän Kempnerin sarjana.

Näin digitaalisten ylioppilaskirjoitusten aikakaudella on myös pakko todeta, että laskimesta tai tietokoneesta ei ole ainakaan suoraviivaisesti sovellettuna tässä tehtävässä mitään hyötyä. Piirsin tietokoneella kuvaajan 10 miljoonasta ensimmäisestä osasummasta sekä harmonisesta sarjasta (joka hajaantuu) että tehtävän sarjasta (joka suppenee). Melko samalta näyttävät.