Viikkotehtävä: tasasivuinen kolmio (viikko 2/2019)

geometria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 13.1.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Kun on annettuna piste A ja yhdensuuntaiset suorat \ell ja m, konstruoi tasasivuinen kolmio ABC, jonka kärkipiste B on suoralla \ell ja piste C suoralla m.

Perinteisesti geometriset konstruktiotehtävät täytyy ratkaista pelkästään harpilla ja viivoittimella: viivoittimella voi piirtää suoran kahden pisteen kautta ja harpilla ympyrän, kun tiedetään sen keskipiste ja jokin kehän piste. Tämän tehtävän saa ja se on ehkä helpointa ratkaista käyttämällä muitakin konstruktioita, mutta nämä ovat toteutettavissa harpilla ja viivaimella.


sulki #2

avasi #3

#4

Kellään ideoita? Minulla ei oikein.


#5

Kierto 60^\circ pisteen P suhteen vie suoran \ell suoraksi \ell'. Mitä seuraavaksi?


#6

Ahaa. Tässä lienee kokonainen ratkaisu.

Olkoon ℓ ' suora, joka saadaan kiertämällä suoraa 60 astetta P:n suhteen. Olkoon Q suorien ℓ ' ja m leikkauspiste. Olkoon T suoran se piste, joka saadaan kiertämällä Q 60 astetta P:n suhteen (vastakkaiseen suuntaan kuin aiemmin). Nyt, PQ = PT, ja kulma \angle QPT on 60^{\circ}. Siispä QPT on tasasivuinen kolmio.


#7

Juuri näin. PQ=PT ja \angle QPT=60^\circ esimerkiksi sillä perusteella, että 60 asteen kierto kuvaa suoran m suoraksi m', suoran \ell' suoraksi \ell, näiden perusteella pisteen Q=\ell'\cap m pisteeksi T=\ell\cap m' ja siten janan PQ janaksi PT.

60 asteen kierto P:n ympäri on harpilla ja viivaimella helppo: pisteen X kuva X' saadaan piirtämällä P- ja X-keskiset ympyrät säteenä PX ja valitsemalla leikkauspisteistä sopivanpuoleinen. Konstruktion perusteella PXX' on tasasivuinen kolmio. Suoran kuva saadaan kuvaamalla kaksi eri pistettä ja piirtämällä kuvapisteiden kautta suora.

Jos tällaiset tehtävät kiinnostavat, Euclidea on hauska pulmapeli.