Viikkotehtävä: yhtälöryhmä kokonaisluvuilla (Viikko 6/2019)

algebra
lukuteoria

#1

Viikkotehtävä

Vastausaikaa su 10.2.2019 klo 24 asti
Vastausaika on päättynyt. Voit keskustella tehtävästä ja sen ratkaisuideoista vapaasti tässä ketjussa.

Tehtävä

Positiiviset kokonaisluvut a, b, c ja d toteuttavat seuraavat yhtälöt:

\begin{cases} (a+b+c)d &= 420,\\ (a+b+d)c &= 363,\\ (a+c+d)b &= 403,\\ (b+c+d)a &= 228. \end{cases}

Ratkaise luvut a,b,c ja d.


sulki #2

avasi #3

#4

Jaetaan luvut tekijöihin:

\begin{cases} 420 &= 2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7,\\ 363 &= 3\cdot 11^2,\\ 403 &= 13\cdot31,\\ 228 &= 2^2\cdot 3\cdot 19. \end{cases}

Ensimmäisestä ja kolmannesta yhtälöstä saadaan 17=420-403=(a+c)d+bd-(a+c)b-bd=(a+c)(d-b). Koska kyse on positiivisista kokonaisluvuista, a+c>1, ja koska a+c jakaa alkuluvun 17, on oltava a+c=17 ja d-b=1.

Toisesta yhtälöstä nähdään, että c on 363:n tekijänä pariton. Siten a=17-c on parillinen. On oltava 1\le c\le 15 ja 2\le a\le 16. Koska a\mid 2^2\cdot 3\cdot 19, a on jokin luvuista 2, 4, 6 ja 12. Vastaavasti koska c\mid 3\cdot 11^2, c voi olla 1, 3 tai 11. Ainoa tapa saada summaksi 17 on a=6, c=11.

Kolmannesta yhtälöstä seuraa nyt

\begin{aligned} (6+11+b+1)b &= 403\\ (b+18)b &= 403\\ b^2+18b-403 &= 0\\ (b-13)(b+31) &= 0. \end{aligned}

Koska b on positiivinen kokonaisluku, on oltava b=13 ja d=14.